Cohomologie Galoisienne by Jean-Pierre Serre

By Jean-Pierre Serre

This new version incorporates a survey (mostly with no proofs) of the most effects bought within the 30 years following unique e-book. It additionally comprises more recent fabric, together with ’’résumés de cours’’ on the Collège de France (1990 - 1991 and 1991 - 1992), and an up to date bibliography.

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Group Rings and Class Groups

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Finite Classical Groups [Lecture notes]

(London Taught direction heart 2013)

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Soit a E Hi(G, A). Supposons que l'on veuille d6crire la fibre de a p o u r v, c'esth-dire l'ensemble v - l ( v ( a ) ) . Choisissons un cocycle a repr~sentatif de a, et soit b son image dans B. Si l'on pose A ~ -- aA, B ~ = bB, il est clair que u d~finit un homomorphisme u' : A ' , B' , d ' o h v' : H I ( G , A ') --" HI(G,B'). O n a en outre le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f suivant (off les lettres r~ et Tb d~signent les bijections d~finies au n ° precedent): g I (G, A) - ~ g g 1 ( e , B) g VI H I ( G , A ') ~ Hi(G, B') .

On en conclut que le module dualisant de G est le module Q / Z , avec op6rateurs triviaux. On retrouve en particulier le fait que scdp(G) = 2 pour tout p. 2) Soit Q t la clSture alg~brique du corps i-adique Ql, et soit G le groupe de Galois de Q t sur Ql- On a cd(G) = 2, et le module dualisant correspondant est le groupe ~ de toutes les racines de l'unit6 (chap. 2). La proposition pr6c~dente redonne le fait que scdp(G) = 2 pour tout p, cf. chap. 3. § 4. 1. Modules simples P r o p o s i t i o n 20.

Si E est un G-groupe, H°(G, E) est un groupe. Si A est un G-groupe, on appelle 1-cocycle (ou simplement cocycle) de G dans A une application s H as de G dans A qui est continue et telle que: ast = a~Sat (s,t E G). L'ensemble de ces cocycles est not~ Z~(G,A). Deux cocycles a e t a' sont dits cohomotogues s'il existe b E A tel que a's = b-lasSb. C'est lh une relation d'~quivalence dans ZI(G,A), et l'ensemble quotient est not~ HI(G,A). C'est le "premier ensemble de cohomologie de G dans A"; il poss~de un ~l~ment distingu~ (appel6 "~l~ment neutre" bien qu'il n ' y ait pas de loi de composition sur HI(G,A) dans le cas g~n~ral): la classe du cocycle unit~; on le note indiff~remment 0 ou 1.

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