Algebre commutative: Chapitres 8 et 9 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les ?‰l?©ments de math?©matique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une pr?©sentation rigoureuse, syst?©matique et sans pr?©requis des math?©matiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d Alg??bre commutative, septi??me Livre du trait?©, comprend les chapitres: 1. measurement; 2. Anneaux locaux noeth?©riens complets. Le chapitre eight traite de diverses notions de measurement en alg??bre commutative, telles que los angeles size de Krull d un anneau. Ces notions jouent un r??le capital en g?©ometrie alg?©brique. Le chapitre nine introduit, quant ?  lui, les vecteurs de Witt et les anneaux japonais. Ce quantity est une r?©impression de l ?©dition de 1983.

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Finite Classical Groups [Lecture notes]

(London Taught direction heart 2013)

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Remarque 5. - D'après A, X, p. 160, th. , X,) est une suite complètement sécante pour le H-module M. PROPOSITION 2. - Supposons que Ho soit un corps, et soit M un H-module gradué de typefini. Soit K le corps des fractions de H. Alors c, est égal au rang du H-module M, c'est-à-dire à la dimension du K-espace vectoriel M @, K . Cela est clair si M = H, puisque c, = 1. Par ailleurs, soit x E H, homogène de degré d, et non nul ; on a (HIxH) O , K = O ; de la suite exacte O-+H(-d)-+H-+H/xH-+O, = O. La proposition est donc vérifiée lorsque M et des remarques 2 et 3, on tire c,,, est engendré par un élément homogène.

Par ailleurs l'application canonique de A dans  induit un isomorphisme de A/a sur Â/aÂ, donc aussi un iso. conclut en appliquant la prop. 7 aux morphisme de A,,/rnAm sur  1 & t  n l On anneaux A,,, et Âln et aux modules Ml,,et Â,%car Ml,, OAniÂfi est isomorphe à Mm (111, loc. cit. et prop. 8). b) D'après la prop. 8 de III, § 3, no 4, l'application m H iîi est une bijection de l'ensemble des idéaux maximaux de A contenant a sur l'ensemble des idéaux maximaux de Â. L'assertion b) résulte de là et de la prop.

On a donc DÉFINITION PROPOSITION 3. - a ) Si F est unefiltration q-bonne sur M, on a b) Si F et F' sont deux filtrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que H&. 2 TmH(') M,F. \ ; la partie b) résulte de a) et du lemme 3. THÉORÈME 2. - Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de typefini tel que M/qM soit non nul et de longueurfinie et F unefiltration q-bonne sur M. a) Il existe un entier d 2 O, et un élément R de Z[T, T-'1, uniquement déterminés, tels que R(1) > O et HM,, = (1 - T)-dR.

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