Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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(London Taught path middle 2013)

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Comme v est injectif, la restriction de u à M est injective et l’on a u(M ) ∩ M = 0. Comme v est surjectif, on a u(M ) ⊕ M = M. Par suite, u induit un isomorphisme de M sur un sousmodule supplémentaire de M dans M. Supposons maintenant que v ne soit pas un automorphisme de M . Alors 1M − v est un automorphisme de M , puisque M est primordial. Or 1M − v est la restriction à M de p ◦ (1M − u). Le raisonnement précédent démontre que 1M − u induit un isomorphisme de M sur un sous-module de M supplémentaire de M .

33 On en déduit l’égalité [M : L] = [N : L] : en effet, on a da = a pour tout cardinal infini a (E, III, p. 49, cor. 4). Les modules M et N sont alors isomorphes d’après le cor. 1. Corollaire 5. — Soit M un module semi-primordial, somme directe d’une famille finie (Mi )i∈I de sous-modules primordiaux. Pour toute partie J de I, notons MJ = i∈J Mi . Soit N un sous-module facteur direct de M. a) Il existe une partie J de I telle que MJ soit un sous-module supplémentaire de N. b) Soit J une partie de I.

1 du th. 1), K est une extension de degré fini de K. Par extension des scalaires de K à K , on déduit de l’isomorphisme A(K ) -linéaire M(K ) → N(K ) un isomorphisme A(K ) -linéaire M(K ) → N(K ) . D’après la partie a) de la démonstration, les A-modules M et N sont isomorphes. c) Traitons enfin le cas général. Soient u : M(K ) → N(K ) un isomorphisme de A(K ) -modules et v : N(K ) → M(K ) l’isomorphisme réciproque. Notons E l’ensemble des sous-K-algèbres de K qui sont engendrées par un nombre fini d’éléments.

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