Álgebras de Lie by Miguel A. Rodríguez

By Miguel A. Rodríguez

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Group Rings and Class Groups

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Finite Classical Groups [Lecture notes]

(London Taught path heart 2013)

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Veamos la acci´on de E (las de H y F son evidentes por construcci´ on). 57) La expresi´on general es Prob´emoslo por inducci´ on. Para k = 1 es correcta como se ha visto. 58) como quer´ıamos probar. El espacio Wm es entonces invariante. La traza del operador H (siendo el conmutador de otros dos operadores) debe ser cero. 60) ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´ on 4. 59 y j es un entero, as´ı como el resto de los autovalores de H. Probemos finalmente que el subespacio ˜ ⊂ Wj es un subespacio que contiene a un vector de la forma w = ci vi + Wj es irreducible.

35) forman una base de U(g). Como σ es inyectiva podemos identificar a g con un subespacio de U(g) y escribir x en vez de σ(x) para todo x ∈ g. Las ´algebras envolventes de ´ algebras y sub´algebras est´an relacionadas en la forma natural: ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´on 4. 38 Sea g una sub´ algebra de un ´ algebra de Lie g, y sea {xj , yk }j∈J,k∈K una base de g tal que {xj }j∈J sea una base de g , con J y K conjuntos bien ordenados. Entonces, la inyecci´on g → g → U(g) se puede extender a una inyecci´ on: U(g ) → U(g).

8 La restricci´ on de la forma de Killing a la sub´ algebra de Cartan es no degenerada Si K|h fuera degenerada, existir´ıa h ∈ h tal que K(h, h ) = 0 para todo h ∈ h. Pero como h es ortogonal a cualquier elemento de gα , para toda ra´ız α, se tiene que K ser´ıa degenerada en g lo que no es posible al ser g semisimple. Siendo h una sub´ algebra de Cartan (en particular nilpotente), sabemos que en una base adecuada las matrices que representan adh son triangulares superiores. La traza de adh restringido a gα es α(h) dim gα (pues solo existe un autovalor, α(h), en esta restricci´on, por la definici´on de los espacios ra´ıces).

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