Algebraic Topology-Rational Homotopy by Felix Y. (ed.)

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Group Rings and Class Groups

The 1st a part of the booklet facilities round the isomorphism challenge for finite teams; i. e. which homes of the finite crew G could be made up our minds by way of the vital team ring ZZG ? The authors have attempted to provide the implications roughly selfcontained and in as a lot generality as attainable in regards to the ring of coefficients.

Finite Classical Groups [Lecture notes]

(London Taught direction middle 2013)

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Jlontrcr que, si les A, sont cohérents j. droite, il en cst de m h c de A. ) */) Déduire de e) quc tout anneau de polynômes (pour un ensemble fini ou infini quelconque d'indéterminées) sur un anneau commutatif ncztliérien est coliérent. , g) Pour que A soit cohérent à gauchc, il faut e t il siinit que I'annulateur à gauche de tout élément de A soit de type fini, e t que l'intersection de deus idéaus à gauche de typc fini dans A soit de type fini (utiliser l'eserc. 6 1)). ql 13) Soient A, B deus anneaus, F un (A, B)-bimodule, G un Bmodule a droite.

On suppose que E est plat e t quv R est contenu dans rL. Montrer que l'on a alors R = O (avec les notations de a), observer que a, est un idéal de type fini et que l'on a a, = a,r). e) Soit E un A-module plat de type fini ; supposons qu'il existe un idéal bilatère b de A contenu dans le radical de A, t û l que E/bE soit un ( ~ / b ) - m o d u l libre. , chap. VIII, S 6, no 3, cor. 4 de la prop. 6 ; puis appliquer d)). 24) On dit qu'un sous-module M' d'un A-module à droite M est pur si, en désignant par j : M' -t M l'injection canonique, l'homomorphisme j @ 1, : M' @, N -t M @, N est injectif pour tout A-module à gauche N.

13) ; prouvons que pour tout idéal à gauche a de A, on a B a n A = a, ce qui démontrera que B est un A-module à droite fidèlement plat (no 5, prop. 9, d)). Or, soit x E Ba n A ; il existe par hypothèse des yi E B et des ai E a tels que E y z ~= i x ; la propriété (E) appliZ quée à cette équation linéaire à coefficients et second membre dans A montre qu'il existe des xi E A tels que x = Cxiaz, donc i €J 4. Modules plats et fomteurs << Tor >> A l'usage des lecteurs au courant de l'Algèbre homologique (*), nous allons indiquer rapidement comment la théorie des modules plats se relie à celle des foncteurs Tor.

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